2022年辽宁师范大学数学分析(学科教学)硕士研究生考研大纲及参考书目 正文

831《数学分析（学科教学）》考试大纲（专业学位）
注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。
第一章  实数集与函数
一．考核知识点
1. 实数
2. 数集·确界原理
3．函数概念
4．具有某些特性的函数
二．考核要求
1. 理解实数概念，掌握实数的小数表示及性质. 运用实数的有序性、稠密性、阿基米德性及封闭性论证有关问题。
2. 理解并掌握邻域概念及应用。
3. 理解并掌握实数绝对值的有关性质及几个常见不等式的应用。  
4. 掌握实数集确界的概念及确界原理在有关问题中的正确运用。
5. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
6. 掌握复合函数、分段函数、反函数、有界函数、单调函数和周期函数等概念，理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，并能利用函数的各种特性解决简单的应用问题。
7. 识记基本初等函数的定义、性质及其图形，理解初等函数的概念，会求初等函数定义域，分析初等函数的复合关系。
 
第二章   数列极限
一．考核知识点
1．数列极限概念
2．收敛数列的性质
3．数列极限存在的条件
二．考核要求
1. 掌握数列的收敛与发散的概念，会用定义证明数列极限有关问题，并会用语言正确表述数列不以某数为极限。                                  
2. 理解并掌握收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、算术性质、保不等式性质性、迫敛性等。
3. 会用极限的四则运算法则，迫敛性定理以及单调有界定理判断数列的收敛性，并会利用它们求收敛数列的极限。                                              
4. 掌握数列极限存在的柯西准则，并会利用它证明数列的收敛性。
5. 掌握数列子列的概念及致密性定理，会利用子列判断数列的收敛性。
 
第三章   函数极限
一．考核知识点
1．函数极限概念
2．函数极限的性质
3．函数极限存在的条件
4．两个重要的极限
5．无穷大量与无穷小量
二．考核要求
1. 掌握函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
2. 能运用或语言证明与函数极限有关的命题，并会用或语言正确表述函数不以某定数为极限。                           
3. 理解并掌握函数极限基本性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质及四则运算性质。
4. 理解归结原则（海涅定理）及柯西准则，会利用它们判断函数极限存在与否。                                  
5. 识记两个重要极限（），能灵活运用其求一些相关函数极限。     
6. 理解无穷小(大)量及其阶的概念, 掌握无穷小(大)量阶的比较，会用无穷小量求某些函数的极限,会求曲线的渐近线。

第四章  函数的连续性
一．考核知识点
1．连续性概念
2．连续函数的性质
3．初等函数的连续性
二．考核要求
1. 掌握函数在一点连续定义的几种等价叙述，能够利用定义判断函数在一点的连续性。
2. 会熟练准确地求出一般初等函数或分段函数的间断点并判别其类型。
3. 理解并掌握闭区间上连续函数的基本性质（最值定理、有界性定理、介值性定理、根的存在定理），并能在相关问题的证明或讨论中正确运用。
4. 理解初等函数的连续性，了解反函数和复合函数的连续性. 会应用连续性求极限。         
5. 理解函数一致连续性概念，并能判断函数的一致连续性与否。
 
第五章  导数与微分
一．考核知识点
1．导数的概念
2．求导法则
3．参变量函数的导数
4．高阶导数
5．微分
二．考核要求
1. 理解导数的概念及几何意义，利用定义法求函数在一点的导数.会求曲线上一点处的切线方程和法线方程， 用导数概念解决相关变化率的实际应用问题。                   
2. 掌握函数可导的充要条件，理解函数的可导性与连续性之间的关系. 熟记各类基本初等函数导数公式，综合运用求导的法则和方法熟练计算初等函数的导数。
3. 会求参变量函数、分段函数、隐函数及反函数的导数。                                 
4. 理解函数微分的概念，用定义求简单函数的微分，运用基本公式和微分法则求初等函数的微分。                               
5. 理解导数与微分的联系，增量与微分的关系，会用微分作近似计算。    
6. 理解高阶导数与高阶微分概念，明确二者的联系，会用莱布尼茨公式求一些简单函数的高阶导数与高阶微分，理解一阶微分形式的不变性并用其求复合函数的微分。
 
第六章 微分中值定理及其应用
一．考核知识点
1．拉格朗日定理和函数的单调性
2．柯西中值定理和不定式极限
3．泰勒公式
4．函数的极值与最大（小）值
5．函数的凸性与拐点
6. 函数图象的讨论
二．考核要求
1. 掌握罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理、达布导函数介值定理和泰勒（Taylor）定理 （带几种余项的）并熟练利用中值定理证明有关函数微分学的命题。
2. 掌握洛必达法则，灵活应用洛必达法则求不定式的极限。
3. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
4. 会用导数判断函数图形的凹凸性， 会求函数图形的拐点以及渐近线，会描绘函数的图像。
 
第七章  实数的完备性
一．考核知识点
1. 关于实数集完备性的基本定理
二．考核要求
1. 理解区间套、聚点、确界、覆盖、子列等概念，会求点集的聚点、确界。
2. 理解实数基本定理并能准确表述，明确其等价性。        
3. 应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性。
4. 函数一致连续性的判别及有关问题的证明。
 
第八章  不定积分
一．考核知识点
1．不定积分概念与基本积分公式
2．换元积分法与分部积分法
3．有理函数和可化为有理函数的不定积分
二．考核要求
1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的关系以及积分与微分的关系。   
2. 熟记基本积分公式，用线性运算法则求不定积分。            
3. 用换元积分法和分部积分法或综合运用这几种方法求不定积分。
4. 掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分的计算。                                                
5. 明确函数在定义区间存在原函数的条件，会判断原函数的存在性。
 
第九章  定积分
一．考核知识点
1．定积分概念
2. 牛顿-莱布尼茨公式
3．可积条件
4. 定积分的性质
3．微积分学基本定理·定积分的计算 
二．考核要求
1. 理解并掌握定积分的思想(分割、近似求和、取极限)的基础上会用定义求简单函数的定积分。                              
2. 明确可积的必要条件、充要条件及可积函数类。          
3. 熟练地应用定积分的性质进行积分的计算，积分值的大小比较、 求平均值及有关证明。                                      
4. 理解微积分学基本定理的实质， 熟练运用牛顿——莱布尼茨公式进行有关积分的证明和计算。
5. 理解积分变上限的函数，会求它的导数。
6. 会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
 
第十章  定积分的应用
一．考核知识点
1. 平面图形的面积
2. 由平行截面面积求体积
3. 平面曲线的弧长与曲率
4. 旋转曲面的面积
二．考核要求
    1. 理解微元法的思想.
2. 用定积分解决某些几何应用问题：平面图形的面积、平面曲线的弧长、一些特殊立体的体积、旋转曲面的面积等的计算。
 
第十一章   数项级数
一．考核知识点
1．级数的收敛性
2．正项级数
3. 一般项级数
二．考核要求
1. 理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本及收敛的必要条件，能用定义、性质及收敛的必要条件判别级数的敛散性。
2. 掌握几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件。
3. 掌握正项级数收敛性的柯西判别准则、比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
4. 掌握交错级数收敛性的莱布尼茨判别法。
5. 用狄利克雷判别法、阿贝尔判别法判断某些级数的敛散性。
6. 掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，理解绝对收敛与收敛的关系。
 
第十二章  函数列与函数项级数
一．考核知识点
1．一致收敛性
2．一致收敛函数列与函数项级数的性质
二．考核要求
1. 理解函数项级数的收敛域、和函数的概念及性质。
2. 理解与掌握函数列或函数项级数一致收敛的概念和性质的。    
3. 掌握函数项级数一致收敛性与否的判别方法(柯西准则、优级数判别法、余项准则、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等)。                       
4. 掌握一致收敛的函数列与函数项级数表示的函数的连续性、可积性、可微性，并用这些性质去解决有关问题。
 
第十三章  幂级数
一．考核知识点
1．幂级数
2．函数的幂级数展开
二．考核要求
1. 理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。               
2. 熟记几个常用初等函数的麦克劳林展开式，并利用其将某些初等函数展开成幂级数。                                           
3. 理解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数， 并会由此求出某些数项级数的和。
 
第十四章   多元函数的极限与连续
一．考核知识点
1．平面点集与多元函数
2．二元函数的极限
3．二元函数的连续性
二．考核要求
1. 理解平面点集的有关概念，求函数的定义域并绘图表示。     
2. 理解并掌握二元函数极限概念，明确重极限与累次极限的关系， 能借助累次极限解决极限有关问题,说明二元函数极限不存在的常用方法的应用。                                            
3. 理解二元函数连续的概念，会利用连续性求初等函数的极限，掌握有界闭域上连续函数的性质。
 
第十五章   多元函数微分学
一．考核知识点
1．可微性
2．复合函数微分法
3．方向导数与梯度
4. 泰勒公式与极值问题
二．考核要求
1. 深刻理解多元函数全微分和偏导数的概念及联系，用定义求函数在指定点的偏导数,讨论函数的可微性，会求多元函数的全微分。
2. 理解并掌握函数的可微、连续、偏导存在与偏导数连续之间关系。
3. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，以及一些简单函数的高阶偏导数的求法。
4. 理解方向导数与梯度的概念， 并掌握其计算方法。
5. 理解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
6. 理解多元函数的泰勒公式。
7. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，理解多元函数极值存在的充分条件，会求简单的多元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
 
第十六章  曲线积分
一．考核知识点
1．第一型曲线积分
2．第二型曲线积分
二．考核要求
1. 熟练运用两类曲线积分的计算法求曲线积分。      
2. 用曲线积分的几何意义及物理意义解决有关应用问题。
 
第十七章  重积分
 一．考核知识点
1．二重积分的概念
2. 直角坐标系下二重积分的计算
3．格林公式 • 曲线积分与路线的无关性
4．二重积分的变量变换
5. 三重积分
6．重积分的应用
二．考核要求
1. 理解重积分和累次积分的概念及性质，会化重积分为累次积分。
2. 熟练掌握二重积分、三重积分的变量变换公式，会用直角坐标变换和极坐标变换求二重积分、用柱面坐标变换和球面坐标变换求三重积分。
3. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。
4. 会用重积分计算曲面面积、体积等几何量。
 
第十八章  曲面积分
一．考核知识点
1．第一型曲面积分
2．第二型曲面积分
3. 高斯公式与斯托克斯公式
二．考核要求
1. 熟练掌握第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算。
2. 应用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分及空间曲线积分。
 
参考书目：数学分析，华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
 

辽宁师范大学

本文来源：http://www.okaoyan.com/lnsfdx/cksm_516860.html