2022年西北师范大学数学与统计学院硕士研究生加试科目《泛函分析》考试大纲及参考书目 正文

第一章  度量空间与线性赋范空间
    考试要点：
    度量空间的概念，例子；度量空间中的收敛性与连续性；稠密性；可分性；Cauchy列与度量空间的完备性；压缩映像原理及其应用；线性赋范空间的概念，例子；Banach空间的概念。
    考试内容：
    第一节  度量空间的概念与例子 
    距离及度量空间的定义；例子（欧氏空间；连续函数空间；数列空间等）。
    第二节  度量空间中的极限稠密性可分空间 
    领域的概念；收敛点列；有界集；具体空间中收敛性的意义；稠密性与可分空间的概念；不可分空间的例子。
第三节连续映射 
映射连续性的各种定义及其等价性。
第四节Cauchy点列与完备度量空间  
    度量空间中Cauchy点列的概念；完备度量空间的定义；完备度量空间与不完备度量空间的各类例子；度量空间闭子空间的完备性。
第五节度量空间的完备化  
     等距同构；度量空间的完备化定理；
第六节压缩映像原理及其应用 
压缩映像的定义；压缩映像原理；在隐函数定理及常微分方程中的应用。
第七节线性空间  
     本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容，故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
第八节线性赋范空间和Banach空间  
     范数，线性赋范空间和Banach空间的概念；依范数收敛；空间；空间；空间；空间；空间；空间；有限维赋范空间的拓扑同构性。
    考核要求：
    掌握度量空间，线性赋范空间和Banach空间的概念和性质；掌握映射连续性，度量空间的完备性等概念；熟悉空间，空间，空间，空间，空间，空间；透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。


第二章  线性有界算子和线性连续泛函
    考试要点：
    线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。
    考试内容：
    第一节  线性有界算子与线性连续泛函 
    线性有界算子与线性连续泛函的概念，例子，有界与连续的等价性，线性有界算子零空间的性质，算子范数。
    第二节  线性算子空间和共轭空间 
    线性算子空间的结构及其完备性，共轭空间，保距算子，同构映照，同构，一些具体空间的共轭空间。
     考核要求：
    掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数，共轭空间，保距算子，同构映照，同构等基本概念；掌握有界与连续的等价性定理，基本定理；能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。

第三章  内积空间和Hilbert空间
    考试要点：
    内积空间，投影定理，Hilbert空间，就范直交系，Hilbert空间上线性连续泛函的表示。
    考试内容：
    第一节  内积空间的基本概念 
    内积空间与Hilbert空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。
    第二节  投影定理 
    点到集合的距离，凸集，极小化向量定理，集合的正交，Hilbert空间的正交分解，投影算子及其性质。
第三节Hilbert空间中的就范直交系
    就范直交系，Fourier系数集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定义与判定,  Fourier展式，Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的同构。
第四节Hilbert空间上的线性连续泛函 
Riesz表示定理，共轭算子及其性质。
第五节自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
    考核要求：
    掌握内积空间，Hilbert空间，平行四边形公式，就范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，Fourier展式，投影算子，共轭算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握极小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理,  Riesz表示定理等基本定理的内容与证明；能独立解答基本的习题。
第四章  Banach空间中的基本定理
    考试要点：
    Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，线性赋范空间中的共轭算子，   
第一节泛函延拓定理 
次线性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。
第二节的共轭空间、Riesz表示定理
第三节共轭算子 
第四节线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
第五节纲定理和一致有界性定理 
第一纲集，第二纲集，Baire纲定理,  一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛 
    强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。
第六节逆算子定理 
    逆算子定理及其证明。
第七节闭图象定理  
    线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。
    考核要求：
    掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire纲定理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分，要求熟练掌握这些内容；能独立解答基本的习题。

   第五章  线性算子的谱
    考试要点：
    简要介绍线性算子的谱的概念，基本性质。
    谱的概念 
正则算子，正则点，正则集，谱点，特征值，特征向量，点谱，连续谱，例子。
第一节线性有界算子谱的基本性质 
谱集的闭性。
    考核要求：
    了解线性算子的谱的概念，基本性质
三、参考书目
1、 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王声望， 郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，第二册，高等教育出版社，1992，第二版。
3、 夏道行等，《实变函数论与泛函分析》，下册，高等教育出版社， 1985，第二版。   

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