南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试

    考试大纲

    科目代码：602

    科目名称：数学单独考试

    第一部分目标与基本要求

    要求考生比较系统的理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

    第二部分内容与考核目标

    一、函数、极限、连续

    1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

    2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

    3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

    4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

    5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

    6．了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则。

    7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

    8．理解无穷小、无穷大的概念，会用无穷小的比较方法，掌握等价无穷小求极限的方法。

    9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

    10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

    二、一元函数微分学

    1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

    2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

    3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

    4．会求分段函数的一阶、二阶导数。

    5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

    6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理和泰勒定理。

    7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

    8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

    9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

    三、一元函数积分学

    1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念。

    2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

    3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。

    4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。

    5．了解广义积分的概念，会计算广义积分。

    6．掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积）等。

    四、向量代数和空间解析几何

    1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

    2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

    3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

    4．掌握平面方程和直线方程及其求法。

    5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

    6．会求点到直线以及点到平面的距离。

    7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

    8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

    9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

    五、多元函数微分学

    1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

    2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

    3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

    4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

    5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

    6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

    7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

    8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

    六、多元函数积分学

    1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

    2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

    3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

    4．掌握计算两类曲线积分的方法。

    5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

    6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

    7．了解散度与旋度的概念，并会计算。

    8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

    七、无穷级数

    1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

    2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

    3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

    4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

    5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

    6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

    7．理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

    8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

    9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

    10．掌握、、、及的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

    11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

    八、常微分方程

    1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

    2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

    3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

    4.会用降阶法解下列形式的微分方程：

    。

    5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

    6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

    7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

    第三部分有关说明与实施要求

    1、基本要求：掌握微积分、空间解析几何和常微分方程的基本知识（基本概念、基本理论和常用的运算方法），具备比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力，正确领会一些重要的数学思想方法。

    2、命题说明：（1）分值比例——试卷满分为150分，考试时间180分钟。试卷题目分易、较易、较难、难四级，分值比例一般为2：3：3：2。（2）题型分布——选择题，约17%；填空题，约17%；计算与证明题，约66%。

    3、参考书目:《高等数学》（第七版）同济大学数学系编高等教育出版社

    4、其他规定：考试方式为闭卷笔试。

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