中国科学技术大学专业代数与数论概述 正文

本方向主要研究李理论、代数表示论及相关课题，具体地，研究扩张仿射李代数的顶点表示、非有限分次李代数的伪有限表示和李双代数结构及其量子化、典型李超代数及其量子化的表示，特别是酉表示、代数的导出范畴和相关的三角范畴、Hopf代数和量子化代数的结构、表示理论以及分类问题等。
在理论方面：
扩张仿射李代数是近十多年来发展起来的新领域，我们对其结构和表示理论做了一系列工作，相关的论文发表在《J. Algebra》、《Advances in Mathematics》、《Israel J. Math.》、《Comm. Math. Phys.》和《Mem. Amer. Math. Soc》的专著上。自Kac于1970年代给出有限维单李超代数分类后，典型李超代数有限维表示的特征标、上同调、Kac-模的结构、无限维最高权酉表示等问题一直是数学物理学家们关注的问题。Serganova（1998年ICM的45分钟报告）和Brundan（2002年J. Amer. Math. Soc.）利用Kazhdan-Lusztig理论和量子群理论给出了gl(m|n)的特征标，但他们给出的只是递推公式。我们通过发展Brundan的理论，计算了gl(m|n)的Kazhdan-Lusztig多项式，进而给出了gl(m|n)的的有限维不可约表示的Kac-Weyl型的特征标公式、计算出上同调、Kac-模的合成因子等。这些结果发表在重要杂志《Advances in Mathematics》、《Porc. London Math. Soc.》、《Math. Z》等。在非有限分次李代数的伪有限表示方面，我们取得了一系列成果，发表在《Advances in Mathematics》、《Comm. Math. Phys.》、《Israel J. Math.》、《J. Algebra》、《J. Pure Appl. Algebra》、《Proc. Amer. Math. Soc.》等。相关论文已被他人引用60余篇次。在李双代数及其量子化方面，我们近期确定了一些非有限分次李代数的李双代数的结构，并通过对其量子化，构造了一些新的量子群。相关论文发表在《Comm. Algebra》，《Science in China》等。
在代数表示论方面：
代数的奇点范畴，Serre对偶问题和三角范畴的中心是当前最热门的研究课题，它们与代数的同调理论，Auslader-Reiten理论以及数学物理中的D-膜理论都有深刻的联系。另外，有限维pointed Hopf代数的分类问题是最近最受关注的问题之一，它分成有限维分次箭图Hopf代数的分类以及它们的分次上同调两大部分。导出范畴和三角范畴是由著名数学家Grothendieck和他的学生Verdier在1960年代提出的，后由Happel系统地应用到有限维代数表示论中，并得到了一系列深刻的结论。现在，导出范畴和三角范畴是表示论中最有力的工具之一。我们主要研究有限维代数的导出范畴以及其Auslander-Reiten理论, 研究代数的奇点范畴，代数的Gorenstein-投射模范畴，研究代数的导出维数，三角范畴的Serre对偶以及三角范畴的幂等可裂问题，三角范畴的中心和支撑集理论等。这一列的工作均受到该方向国际顶尖人物的认可，例如，最近由Happel、 Keller、 Reiten（后两位曾为ICM邀请报告人）合写的论文引用了我们关于奇点理论方面的结果。相关论文发表在《Manuscripta Mathematica》、《J. Algebra》、《Comm. Algebra》等。Hopf代数是由著名的拓扑学家Hopf在上世纪40年代提出的，后由多位著名的数学家，如Milnor, Moore、Sweedler等，对Hopf代数进行了系统的研究。由于Drinfeld的著名工作，Hopf代数在量子群以及Yang-Baxter方程理论中扮演着中心角色。 我们主要研究Hopf代数的箭图方法，对Monomial Hopf代数进行了完整分类，研究Hopf代数的余表示理论，对于Hopf代数的分类理论，提出了分次双代数上同调的理论，对于量子对称代数，我们证明了对偶定理，研究了Color Hopf代数和 Color Lie代数的同调理论。我们的工作有多次引用，例如，关于Monomial代数的研究，现已有他引11次；关于分次双代数上同调，美国数学家Mastnak等人在其两篇论文中多次引用。相关论文发表在《J. Pure Appl. Algebra》、《J. Algebra》、《Letters Mathematical Physics》、《Algebras and Representation Theory》、《Algebra Colloquium》等。

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