近世代数

 

    一、考查目标

 

    近世代数是以研究代数结构的性质、构造与分类为中心的一门学科，是现代数学各个分支的基础学科之一。要求学生通过本课程的学习，掌握近世代数的基本概念与基本理论，主要包括群、环、域等基础理论，培养抽象思维的能力。考试目的主要考察学生对群、环、域这三类较为常见的代数结构的概念和及其性质的掌握程度，以及学生利用相关知识进行抽象思维的能力。

 

    二、试卷结构

 

    1、题型结构

 

    计算题（约40%），证明题（约60%），共计100分

 

    2、内容结构

 

    群论（约40%），环论(约40%），域论（约20%）

 

    三、考试内容及要求

 

    1、群论

 

    考试内容：关系、等价关系与划分的对应、群论的基本概念（包括子群、陪集、群同态、循环群、置换群、群的直积、群作用等）、性质及循环群的结构、群同态基本定理、拉格朗日定理、西罗定理、轨道稳定子公式等基本定理。

 

    考试要求：了解集合、映射、关系以及等价类的概念；理解等价关系和划分的对应。理解群、子群、生成子群、群同构、循环群、置换群和对称群等概念，会证明两个群是否同构，熟练掌握循环群的性质、结构及分类，掌握置换的轮换分解定理，了解置换在对称变换群中的应用。掌握左右陪集的概念和性质，会用拉格朗日定理和指数公式，熟练掌握正规子群和商群的概念及性质，熟练掌握群同态的概念及同态定理，掌握群的内外直积的概念和性质，熟练掌握群作用的概念及轨道稳定子定理，了解伯恩塞德引理，熟练掌握西罗定理及其应用，会判断一个群是否单群。

 

    2、环论

 

    考试内容：环、子环、理想、零因子、整环、欧氏环、主理想整环等

 

    考试要求：掌握环和子环的概念和性质，掌握左右零因子、无零因子环、整环、除环、除环、体、域的区别，熟练掌握理想、主理想、商环的概念，掌握环同态定理和环的扩张定理，掌握素理想和极大理想的区别和联系，掌握环的特征、素域的概念。了解多项式环，整环的商环的概念，掌握唯一分解整环的概念及其性质，掌握主理想整环和欧几里得整环的概念及其性质，了解各类整环的区别和联系。

 

    3、域论

 

    考试内容：向量空间、子空间、域扩张(单扩张、有限扩张、代数扩张）、分裂域。

 

    考试要求：掌握向量空间、子空间及空间维数的概念、掌握扩域、单扩张、有限扩张、及域论基本定理，掌握代数数、超越数、代数扩张、极小多项式、不可约多项式的概念，了解分裂域、完备域的概念及其性质，了解有限域的概念和性质。

 

    四、推荐书目

 

    韩士安、林磊.近世代数(第二版).北京：科学出版社,2009

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