2022年西北师范大学数学与统计学院硕士研究生加试科目《泛函分析》考试大纲及参考书目

发布时间:2021-09-01 编辑:考研派小莉 推荐访问:
2022年西北师范大学数学与统计学院硕士研究生加试科目《泛函分析》考试大纲及参考书目

2022年西北师范大学数学与统计学院硕士研究生加试科目《泛函分析》考试大纲及参考书目内容如下,更多考研资讯请关注我们网站的更新!敬请收藏本站,或下载我们的考研派APP和考研派微信公众号(里面有非常多的免费考研资源可以领取,有各种考研问题,也可直接加我们网站上的研究生学姐微信,全程免费答疑,助各位考研一臂之力,争取早日考上理想中的研究生院校。)

2022年西北师范大学数学与统计学院硕士研究生加试科目《泛函分析》考试大纲及参考书目 正文

第一章  度量空间与线性赋范空间
    考试要点:
    度量空间的概念,例子;度量空间中的收敛性与连续性;稠密性;可分性;Cauchy列与度量空间的完备性;压缩映像原理及其应用;线性赋范空间的概念,例子;Banach空间的概念。
    考试内容:
    第一节  度量空间的概念与例子 
    距离及度量空间的定义;例子(欧氏空间;连续函数空间;数列空间等)。
    第二节  度量空间中的极限稠密性可分空间 
    领域的概念;收敛点列;有界集;具体空间中收敛性的意义;稠密性与可分空间的概念;不可分空间的例子。
第三节连续映射 
映射连续性的各种定义及其等价性。
第四节Cauchy点列与完备度量空间  
    度量空间中Cauchy点列的概念;完备度量空间的定义;完备度量空间与不完备度量空间的各类例子;度量空间闭子空间的完备性。
第五节度量空间的完备化  
     等距同构;度量空间的完备化定理;
第六节压缩映像原理及其应用 
压缩映像的定义;压缩映像原理;在隐函数定理及常微分方程中的应用。
第七节线性空间  
     本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容,故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
第八节线性赋范空间和Banach空间  
     范数,线性赋范空间和Banach空间的概念;依范数收敛;空间;空间;空间;空间;空间;空间;有限维赋范空间的拓扑同构性。
    考核要求:
    掌握度量空间,线性赋范空间和Banach空间的概念和性质;掌握映射连续性,度量空间的完备性等概念;熟悉空间,空间,空间,空间,空间,空间;透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。


第二章  线性有界算子和线性连续泛函
    考试要点:
    线性有界算子,线性连续泛函,线性算子空间,共轭空间。
    考试内容:
    第一节  线性有界算子与线性连续泛函 
    线性有界算子与线性连续泛函的概念,例子,有界与连续的等价性,线性有界算子零空间的性质,算子范数。
    第二节  线性算子空间和共轭空间 
    线性算子空间的结构及其完备性,共轭空间,保距算子,同构映照,同构,一些具体空间的共轭空间。
     考核要求:
    掌握线性有界算子,线性连续泛函,有界性,连续性,算子范数,共轭空间,保距算子,同构映照,同构等基本概念;掌握有界与连续的等价性定理,基本定理;能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。

第三章  内积空间和Hilbert空间
    考试要点:
    内积空间,投影定理,Hilbert空间,就范直交系,Hilbert空间上线性连续泛函的表示。
    考试内容:
    第一节  内积空间的基本概念 
    内积空间与Hilbert空间的定义,平行四边形公式,内积空间的判定。
    第二节  投影定理 
    点到集合的距离,凸集,极小化向量定理,集合的正交,Hilbert空间的正交分解,投影算子及其性质。
第三节Hilbert空间中的就范直交系
    就范直交系,Fourier系数集,Bessel不等式,Parseval恒等式,完全就范直交系的定义与判定,  Fourier展式,Gram-Schmidt正交化过程,Hilbert空间的同构。
第四节Hilbert空间上的线性连续泛函 
Riesz表示定理,共轭算子及其性质。
第五节自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
    考核要求:
    掌握内积空间,Hilbert空间,平行四边形公式,就范直交系,Bessel不等式,Parseval恒等式,Fourier展式,投影算子,共轭算子,自伴算子,酉算子和正常算子等基本概念;掌握极小化向量定理,投影定理,完全就范直交系的判定定理,  Riesz表示定理等基本定理的内容与证明;能独立解答基本的习题。
第四章  Banach空间中的基本定理
    考试要点:
    Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,线性赋范空间中的共轭算子,   
第一节泛函延拓定理 
次线性泛函,Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。
第二节的共轭空间、Riesz表示定理
第三节共轭算子 
第四节线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
第五节纲定理和一致有界性定理 
第一纲集,第二纲集,Baire纲定理,  一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛 
    强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义,例子,相互关系,强收敛的充要条件。
第六节逆算子定理 
    逆算子定理及其证明。
第七节闭图象定理  
    线性算子的图象,闭算子,闭图象定理。
    考核要求:
    掌握本章涉及到的所有基本概念,基本定理;由于Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,Baire纲定理,逆算子定理,闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分,要求熟练掌握这些内容;能独立解答基本的习题。

   第五章  线性算子的谱
    考试要点:
    简要介绍线性算子的谱的概念,基本性质。
    谱的概念 
正则算子,正则点,正则集,谱点,特征值,特征向量,点谱,连续谱,例子。
第一节线性有界算子谱的基本性质 
谱集的闭性。
    考核要求:
    了解线性算子的谱的概念,基本性质
三、参考书目
1、 程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社, 1983, 第一版。
2、 王声望, 郑维行,《实变函数与泛函分析概要》,第二册,高等教育出版社,1992,第二版。
3、 夏道行等,《实变函数论与泛函分析》,下册,高等教育出版社, 1985,第二版。   

西北师范大学

添加西北师范大学学姐微信,或微信搜索公众号“考研派小站”,关注[考研派小站]微信公众号,在考研派小站微信号输入[西北师范大学考研分数线、西北师范大学报录比、西北师范大学考研群、西北师范大学学姐微信、西北师范大学考研真题、西北师范大学专业目录、西北师范大学排名、西北师范大学保研、西北师范大学公众号、西北师范大学研究生招生)]即可在手机上查看相对应西北师范大学考研信息或资源

西北师范大学考研公众号 考研派小站公众号

本文来源:http://www.okaoyan.com/xibeishifandaxue/cankaoshumu_461900.html

推荐阅读