2022年重庆邮电大学理学院硕士研究生考试《实变函数》大纲及参考书目

发布时间：2021-09-02 编辑：考研派小莉推荐访问：

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2022年重庆邮电大学理学院硕士研究生考试《实变函数》大纲及参考书目正文

《实变函数（J061）》考试大纲

命题方式	招生单位自命题	科目类别	加试
满分	100
考试性质同等学力加试
考试方式和考试时间
试卷结构试卷内容结构集合论约 20％测度论约 20% 积分论约 30％微分与不定积分约 30% 试卷题型结构单项选择题填空题解答题（包括证明题）
考试内容和要求第一章集合 1. 知识点:集合的概念和运算，对等与基数，可数与不可数集合，曹恩引理 2. 考核要求: 1）掌握集合交，并、余等运算和上、下极限的定义和基本运算；2）熟练掌握集合的对等的定义与性质；能熟练应用伯恩斯坦（Bernstein）定理证明集合的对等关系；3）理解基数的定义；掌握可数集与不可数集的性质，会判断给定的集合是否可数。第二章点集 1. 知识点：度量空间，聚点、内点和界点，开集、闭集、完备集极其构造。 2. 考核要求：1）理解和掌握度量空间的定义，邻域的性质，有界点集的定义和 n 维区间的体积；2）熟练掌握 n 维区间点的关系，聚点、内点和界点的定义聚点与等价条件；3）掌握开核、边界和导集的概念和性质极其相互关系；4）理解和掌握开集、闭集和完备集的性质；5）理解开集的构成区间与余区间，了解开集、闭集的构造；熟练掌握康托尔集的构成和性质。第三章测度论 1. 知识点: 约当测度，Lebesgue 外测度和内测度，可测集 2. 考核要求: 1）测度的定义和性质；2）掌握 Lebesgue 外测度和内测度的定义和基本性质；3）熟练掌握Caratheodory 给出可测集的定义及可测集的基本运算性质；4）掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性； 5）约当测度与 Lebesgue 测度的关系；6）了解特殊的两类集合，波雷耳集。第四章可测函数 1. 知识点：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，依测度收敛。 2. 考核要求：1）熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念； 2）理解叶果洛夫定理； 3）理解并掌握鲁津定理及其逆定理；4）熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese 定理和 Lebesgue 收敛定理

第五章积分论
1. 知识点：Riemann 积分，勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理
2. 考核要求：1）了解由确界式定义的 Riemann 积分，及 Riemann 积分的缺陷；
2）理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算，勒贝格积分与 Riemann 积分的关系；3）熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性； 4）熟练掌握一般可积函数的 L 积分的定义和初等性质。5）牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou 引理及有关积分与求导交换的定理。
第六章微分与不定积分
1. 知识点：单调函数的可微性，有界变差函数，不定积分，斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分
2. 考核要求：1）理解单调函数不连续点集的特点，掌握单调函数的微分定理。 2）掌握有界变差函数的定义及性质。3）深入理解单调函数与有界变差函数的关系。 4）理解绝对连续函数定义与性质，以及它与有界变差函数的关系。 5）掌握领会 L 积分意义下的牛顿一莱布尼兹公式，掌握绝对连续函数与不定积分之间的关系。 6）了解黎曼-斯蒂尔切斯积分与勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分概念。

参考书目
1、程其襄等编，实变函数与泛函分析基础（第三版），高等教育出版社，2009.
2、郑维行、王声望，实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社 2002.

备注

重庆邮电大学

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