2021中国海洋大学F1101综合考试研究生考试大纲 正文

F1101综合考试

（包含①实变函数、②计算方法、③常微分方程）
闭卷考试，满分为100分，其中实变函数40%、计算方法30%、常微分方程30%。考试时间：120分钟。复试内容大纲如下：
①实变函数
一、考试性质
实变函数是数学相关专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。
二、考察目标
实变函数是近代分析数学的基础，是数学分析的延续与拓广。考试以考察基本知识为主，考核对重要定理的理解和应用。旨在测试考生对集合论、可测集、可测函数、可积函数等基本定义概念的理解和掌握。要求考生理解实变函数的基本概念和基本理论；掌握其基本论证方法和常用结论；具备较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。
三、考试形式
闭卷考试，本部分满分为40分。
试卷结构：客观题和简答题约占50%，证明题约占50%。
四、考试内容
（一）集合论
1.集合的各种运算，上、下限集的定义
2.集合的对等，集合的基数，集合的可列性；
3.开集、闭集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性质；点集的内部、导集、闭包、边界；Cantor三分集的结构和性质；
4.点到集合的距离，集合间的距离。
（二）可测集
1.外测度、测度和可测集的概念及其性质，集合可测性的判别方法；
2.开集、闭集的可测性，以及它们与可测集之间的联系。
（三）可测函数
1.可测函数的概念及其性质；
2.函数可测性的判别方法，其与简单函数的联系；
3.可测函数列几种收敛性之间的关系（包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛、测度收敛）；
4.可测函数和连续函数的联系
5.叶果洛夫（Egoroff）定理、里斯(Riesz)定理、鲁津(Rusin)定理的含义及应用；
（四）Lebesgue积分
1.Lebesgue积分的定义及其性质，函数可积性的判定；
2.积分收敛定理（勒维(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和Lebesgue控制收敛定理，Vitali定理）及应用；
3.Riemann积分与Lebesgue积分之间的区别和联系； Fubini定理。
五、是否需使用计算器
否。
 
②计算方法
一、考试性质
计算方法是数学相关专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。
二、考察目标
要求考生理解数值计算的基本方法及基本理论，掌握基本数值方法的理论分析技巧, 具有把数学问题近似求解和编程实现能力。本科目主要考查考生对计算数学基础理论的掌握及考生的基本数值分析能力。从如下三方面测评考生的计算数学基本素质：
1.基本概念和基本理论
2.基本数值方法的构建及分析
3.综合算法分析及应用
三、考试形式
闭卷考试，本部分满分为30分。
试卷结构：
数值逼近的基本内容约占40%；
代数方程的数值方法及分析约占40%；
微分方程数值解法及分析约占20%。
四、考试内容
（一）数值逼近基础
1．误差（误差来源，误差限，有效数字，误差传播，避免误差的注意事项）
2．插值法（Lagrange插值，Hermite插值，分段插值，分段Hermite插值, 样条插值，数值微分）
3．数据拟合法（最小二乘原理，多变量拟合，正交多项式拟合）
4．数值积分（梯形、Simpson公式及误差估计，复化公式及误差估计，加速公式与Romberg求积，Gauss型公式等）
（二）代数方程数值方法
1．线性方程组的直接法 (高斯消去法、主元消去法、矩阵分解法、误差分析)
2．线性方程组的迭代法 (几种常用迭代法收敛性及误差估计、判别收敛的条件、收敛速率)
3．矩阵特征值和特征向量的计算 (幂法、反幂法、QR算法、Jacobi方法)
4．非线性代数方程的解法 (对分区间法、迭代法、迭代收敛的加速、Newton法、弦位法、抛物线法、最速下降法)
（三）微分方程数值方法
1．常微分方程的数值解法（几种简单的数值解法、R-K方法、线性多步法、预估校正公式、自动选取步长及事后估计）
2．偏微分方程的差分解法（差分格式的建立、收敛性、稳定性、高维问题的交替方向法）
五、是否需使用计算器
否。

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