2021天津科技大学数学专业研究生考研考试大纲 正文

复习大纲
高等数学教学课程大纲
1.函数与极限
本章节主要教学要求：
1.理解函数概念。
2.了解函数的几种特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性。
3.理解复合函数概念，了解反函数的概念。
4.会建立简单实际问题中的函数关系式。
5.理解极限的概念，理解左右极限的定义。会利用定义证明一些简单的极限，了解极  限的性质。
6.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的运算性质，会用等价无穷小求极限。
7.掌握极限的运算法则及变量代换法则。
8.理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界收敛准则，会用两个重要极限求极限。
9.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念。
10.了解函数间断点的概念，会判别函数间断点类型。
11.了解初等函数的连续性。了解闭区间上连续函数的性质，并能作一般性的应用。
2. 导数与微分
本章节主要教学要求：
1.理解导数的概念，了解左右导数的概念。
2.理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。
3.理解函数的可导性与连续性之间的关系。
4.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则。
5.掌握基本初等函数的求导公式。
6.了解高阶导数的概念，掌握初等函数二阶导数的求法，会求简单函数的 n 阶导数， 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。
7.理解微分的概念，掌握函数可导与可微的关系，了解微分的几何意义，了解微分的  运算法则和一阶微分形式不变性，掌握微分的简单应用。
3. 微分中值定理与导数应用本章节主要教学要求：
1.理解费马引理、罗尔定理和拉格朗日定理，了解柯西定理。

2.掌握用洛必达法则求各类未定式极限的方法。3.了解泰勒定理，知道e x、sin x、cos x、ln(1  x)


与(1 x) 等函数的麦克劳林公式。

4.掌握函数单调性的判断，会利用函数单调性证明某些不等式和方程根的唯一性。
5.会判断曲线的凸凹性，会求曲线的拐点。
6.理解函数极值的概念，掌握求极值的方法；掌握函数最大值和最小值的求法，会求  解较简单的最大值和最小值的应用问题。
7.会求曲线的水平与铅直渐近线，会利用导数描绘函数的图形。
8.了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会求弧微分，会计算曲率和曲率半径。
4. 不定积分
本章节主要教学要求：
1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质。
2.熟练掌握不定积分的基本公式。
3.掌握不定积分的两类换元法和分部积分法。
4.会求简单有理函数、简单三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。
5.定积分及其应用 本章节主要教学要求：
1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质，了解函数可积的充分条件。
2.熟悉积分上限函数及其求导方法。
3.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式。
4.掌握定积分的换元法和分部积分法。
5.理解两类反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分。
6.掌握定积分的元素法。
7.掌握平面图形面积、立体体积、平面曲线弧长等几何量的计算。
8.会求变力做功、液体的侧压力和引力等简单的物理量。
6. 微分方程
本章节主要教学要求：
1.了解微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、通解、初始条件、特解等概念。
2.掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程，了解伯努利方程的解  法，了解会用变量代换求解方程的方法。

3.会用降阶法求解形如 y (n) 

f (x),

y 

f ( x, y) 和 y 

f ( y, y) 的微分方程。

4.掌握二阶线性微分方程解的结构。
5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解
法。
x
6.会求 f (x)  Pm (x)e 的二阶常系数非齐次线性微分方程，了解 f (x) 
7.ex [P (x) cosx  P (x) sinx] 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
l n
8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
7. 多元函数微分法及其应用
本章节主要教学要求：
1.理解多元函数的概念，了解点函数的概念，会求多元函数的函数值，会求二元函数  的定义域，了解二元函数的几何图形。
2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数的概念，掌握偏导数和二阶偏导数的求法，了解二阶以上偏导  数的求法，知道偏导数存在与函数连续的关系，了解偏导数的几何意义。
4.理解全微分的概念，知道可微的必要与充分条件，会求多元函数的全微分。
5.掌握多元复合函数一阶偏导数的求法，了解多元复合函数二阶偏导数的求法。
6.了解隐函数存在定理，掌握由一个方程所确定的隐函数的一阶导数或偏导数求法， 了解其二阶导数或偏导数求法，了解由两个方程所确定的隐函数的一阶导数或偏导数求法。
7.了解曲线的切线与法平面方程的求法，了解曲面的切平面与法线方程的求法。
8.理解方向导数和梯度的概念，会求方向导数和梯度，知道方向导数与梯度的关系。
9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件和二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求一些较简单的   最大值和最小值的应用问题。
8. 重积分
1.本章节主要教学要求：
2.理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。
3.掌握利用直角坐标、极坐标计算二重积分的方法，会在直角坐标系下交换二次积分  次序，会将直角坐标、极坐标下的二次积分互化。
4.会用重积分表示一些简单的几何量（如平面面积、立体体积、曲面面积等）和简单  的物理量（如质量、质心、转动惯量、引力等）。
9. 无穷级数
本章节主要教学要求：
1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质，掌握无穷级数  收敛的必要条件。
2.掌握几何级数和 p -级数的收敛性。
3.掌握正项级数的比较审敛法、比较审敛法的极限形式、比值审敛法，了解正项级数  的根值审敛法，知道正项级数收敛的充分必要条件。
4.掌握交错级数的莱布尼兹审敛法，会估计交错级数的截断误差。
5.知道无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛级数的性质。
6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7.掌握阿贝尔定理，掌握幂级数的收敛半径和收敛区间的求法，了解收敛域的求法。
8.了解幂级数在其收敛域内的基本性质，会求简单幂级数的和函数。
9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，了解将函数展开为幂级数的直接展开法，
会利用函数e x、sin x、cos x、ln(1  x) 与(1 x) 的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接
展开成幂级数。
线性代数教学大纲第一章 行列式
本章主要教学要求：掌握行列式的六个主要性质，会运用这些性质进行行列式的简化。  理解代数余子式的概念，掌握行列式按行(列)展开从而降阶的方法。对于确定阶数(≤4 阶) 的行列式，会通过化简为三角形行列式求值，或化简后展开、降阶计算；对于简单的不定阶数的行列式(n 阶)，会根据其特点计算其值。了解拉普拉斯定理，理解克拉默法则，掌握其关于齐次方程组的推论。
第二章 矩阵
本章主要教学要求：理解矩阵的概念(包括矩阵的元素、阶数)，掌握矩阵的表示法。了解一些常用的特殊矩阵，如行(列)矩阵、零矩阵、方阵、上(下)三角阵、单位阵等。掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及其运算律，理解矩阵一般不可交换和不可消去的原理。   理解线性变换和线性方程组的矩阵形式，掌握方阵的幂运算，理解对称阵的定义及其性质。   掌握方阵可逆的定义及其充要条件，掌握用伴随阵求逆矩阵的方法，掌握用逆矩阵解线性方程组和简单矩阵方程的方法。理解矩阵的行(列)初等变换及矩阵的等价性概念，掌握矩阵的行初等变换。理解矩阵秩的定义，掌握用初等变换求矩阵秩的方法。理解初等矩阵的定义及其性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，了解分块矩阵的概念。
第三章 向量与线性方程组
本章主要教学要求：掌握用方程组的增广矩阵(或系数矩阵，对于齐次方程组)作行初等  变换解方程组的一般方法。理解 n 维向量的概念，掌握向量的线性运算。理解线性组合、线性表示等概念，理解向量组线性相关、线性无关的定义和充要条件，掌握判别向量组线性相   关性的基本方法，会用定义和充要条件进行简单的论证。理解向量组最大无关组的定义和性   质，理解向量组秩的定义，会求向量组的最大无关组。了解齐次方程组解空间的概念，掌握   基础解系和通解的求法；会求非齐次方程组的通解。理解向量的内积、夹角等概念，理解向   量正交的概念，掌握向量组的正交化方法，了解正交阵的定义及其性质。
第四章 矩阵的特征值与特征向量
本章主要教学要求：理解方阵特征值和特征向量的定义及其主要性质，掌握特征值和特   征向量的求法。理解方阵相似变换的定义，理解方阵对角化的定义和方阵可对角化的充要条   件，掌握用正交变换将实对称矩阵对角化的方法。

天津科技大学

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