苏州科技大学2021年硕士研究生入学初试考试大纲

    命题学院：数学科学学院

    考试科目名称：数学综合

    说明：常规考试用具。

    一、考试基本要求

    《数学综合》考试大纲适用于报考学科教学（数学）专业学位硕士研究生的入学考试。本考试是为招收学科教学（数学）专业学位硕士研究生而拟设的具有选拔功能的考试。 其主要目的是测试考生对数学分析、高等代数最基本内容的理解、掌握和熟练程度。要求考生熟悉数学分析、高等代数的基本理论、掌握数学分析、高等代数的基本方法, 具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。

    二、考试内容和考试要求

    (一)函数

    1.实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;

    2.数集：区间与邻域，有界集与无界集;

    3.函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；

    4.具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

    要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。

    (二)数列极限

    1.极限概念；

    2.收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；

    3.数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则。

    要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；了解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系；了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系.

    (三)函数极限

    1.函数极限的概念，单侧极限的概念；

    2.函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；

    3.函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；

    4.两个重要极限；

    5.无穷小量与无穷大量，阶的比较。

    要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用-,-X语言处理极限问题；了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。

    (四)函数连续

    1.函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；

    2.连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；

    3.初等函数的连续性。

    要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

    （五）导数与微分

    1.导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；

    2.求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；

    3.微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；

    4.高阶导数。

    要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用。

    （六）微分学基本定理

    1.中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

    2.几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；

    3.泰勒公式。

    要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限。

    （七）导数的应用

    1.函数的单调性与极值；

    2.函数凹凸性与拐点.

    要求：了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。

    (八）实数完备性定理及应用

    1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；

    2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；

    3、上、下极限。

    要求：理解聚点的概念；了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；了解上、下极限的概念。

    （九）不定积分

    1.不定积分概念；

    2.换元积分法与分部积分法；

    3.几类可化为有理函数的积分；

    要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。

    （十）定积分

    1.定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；

    2.可积性条件：可积的必要条件和充要条件，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；

    3.微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

    4.非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念；瑕积分的收敛与发散的概念。

    要求：理解定积分概念及函数可积的条件；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；能用定义判断某些广义积分的收敛性。

    （十一）定积分的应用

    1.定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分；

    2.定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力。

    要求：重点掌握定积分的几何应用；了解定积分在物理上的应用；理解并掌握"微元法"。

    （十二）数项级数

    1.级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

    2.正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；

    3.一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

    要求：理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数、调和级数与p级数。

    （十三）函数项级数

    1.一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；

    2.一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。

    要求：掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；了解极限函数与和函数的分析性质。

    （十四）幂级数

    1.幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；

    2.几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。

    要求：了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式。

    （十五）多元函数极限与连续

    1.平面点集与多元函数的概念；

    2.二元函数的极限、累次极限；

    3.二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。

    要求：理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解多元连续函数的性质。

    （十六）多元函数的微分学

    1.可微性：偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；

    2.多元复合函数微分法及求导公式；

    3.方向导数与梯度；

    4.极值。

    要求：理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄清全微分、偏导数、连续之间的关系；会求函数的极值、最值。

    （十七）隐函数定理及其应用

    1.隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；

    2.隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；

    3.几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。

    要求：了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数；了解隐函数组的概念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；会求条件极值。

    （十八）重积分

    1.二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；

    2.二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换）；

    3.含参变量的积分；

    4.三重积分计算：化三重积分为累次积分,换元法（柱面坐标变换，球坐标变换）；

    5.重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；

    6.含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质；

    要求：熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用；了解含参变量定积分的概念与性质；了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念；了解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理。

    （十九）曲线积分与曲面积分

    1.第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；

    2.第二型曲线积分的概念、性质与计算，两类曲线积分的联系；

    3.格林公式，曲线积分与路线的无关性,全函数；

    4.曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;

    5.高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性。

    要求：掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系；熟练掌握格林公式的证明及其应用，会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积分。

    （二十）行列式

    1.n阶行列式的定义和性质；

    2.行列式按行（列）展开的公式；

    3.拉普拉斯定理；

    4.克兰姆法则。

    要求：理解行列式的概念，行列式的性质，掌握行列式的计算方法，克兰姆法则的运用。

    （二十一）线性方程组

    1.线性方程组的消元法；

    2.n维向量的概念、运算、性质；

    3.向量组的线性相关性；

    4.矩阵的秩，线性方程组有解的判别法；

    5.线性方程组的解结构。

    要求：能熟练运用消元法解线性方程组，掌握矩阵的秩、向量组的秩及极大线性无关组的求法，掌握向量组的线性相关性的基本概念和结论，矩阵秩的相关概念和方法。能够熟练利用向量组的有关知识分析讨论关于线性方程组的一些问题并能正确使用有解判别法。

    （二十二）矩阵

    1.矩阵的运算、性质；

    2.可逆矩阵的概念、性质，逆矩阵的求法；

    3.矩阵的分块运算、应用；

    4.初等矩阵与初等变换的关系，用初等变换求逆矩阵的方法。

    要求：能熟练地进行矩阵的运算，熟悉矩阵乘积的行列式及秩的定理，掌握可逆矩阵的概念、性质、初等变换和初等矩阵的关系。掌握矩阵分块的应用及用初等变换求逆矩阵的方法。

    （二十三）矩阵的对角化

    1.相似矩阵的概念及性质；

    2.矩阵的特征值与特征向量；

    3.矩阵可对角化的条件；

    4.向量的内积、正交矩阵；

    5.实对称矩阵的对角化。

    要求：熟悉相似矩阵的概念及性质；掌握矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法；理解矩阵可对角化的条件，熟练掌握一般矩阵对角化和实对称矩阵的对角化的方法，会用矩阵对角化方法解决实际问题。

    （二十四）二次型

    1.二次型的定义及表示，二次型的标准型；

    2.标准型的唯一性；

    3.正定二次型的定义及判定。

    要求：熟悉二次型的几种表示方法，知道二次型经过非退化线性替换仍变为二次型以及前后两个二次型的关系，掌握二次型化为标准型的方法，理解实二次型的规范形的唯一性，掌握实二次型正定的判别方法

    （二十五）线性空间

    1.线性空间的定义和性质；

    2.向量组的线性相关性、基、维数和坐标，基变换和坐标变换；

    3.子空间、子空间的交与和、直和。

    要求：理解线性空间的概念和性质，初步了解公理化思想方法，理解基、维数、坐标和子空间的概念，掌握基、维数、坐标的求法，基变换公式和坐标变换公式，了解维数公式的应用。

    （二十六）线性变换

    1.线性变换的定义、性质和运算；

    2.线性变换和矩阵的关系；

    3.特征值、特征向量；

    4.对角化问题。

    要求：理解线性变换、相似、特征值与特征向量，值域与核以及不变子空间等概念，了解线性变换与矩阵的关系及可对角化的条件。

    （二十七）多项式

    1.数域及一元多项式的概念和运算；

    2.多项式的整除性、带余除法、最大公因式；

    3.多项式的因式分解、重因式、多项式函数及多项式的根；

    4.复数域和实数域上多项式的因式分解。

    要求：理解一元多项式的有关概念，掌握多项式的运算，最大公因式和有理根的求法，了解互素，有无重因式的判别方法，能初步运用一元多项式的基本概念、基本理论和基本方法解决多项式中的一些问题。

    三、考试基本题型

    主要题型可能有：判断题、填空题、计算题、证明题、应用题，叙述题等。考试方式为闭卷、笔试。考试时间为180分钟。试卷满分为150分（其中数学分析90分，高等代数60分）。

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