2021石家庄铁道大学数学物理方法研究生考试大纲 正文

《数学物理方法》考试大纲 
一、考试的总体要求
    数学物理方法课程是应用物理专业的一门学位课程。本课程的特色在于数学和物理紧密结合，它既照顾到了一定的数学理论深度和系统性，又照顾到了课程本身在实际物理问题中的实用性。主要考查复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法，使学生学会将物理问题建立数学模型（偏微分方程），求解、分析，以达到对物理过程的深入了解，引导学生从纯数学的学习转到将数学应用于实际物理问题中来。通过本课程的学习，培养和提高学生的理论思维能力、分析问题和解决问题的能力。
二、考试的内容及考查比例
    第一章 复变函数和解析函数（6%）
1.熟练掌握复变函数的各种表示方法及其运算，复变函数的概念，了解初等函数（指数函数、三角函数、对数函数、幂函数）的定义及主要性质。
2.掌握复变函数导数、复变函数解析的概念，熟悉复变函数解析的充要条件，了解调和函数与解析函数的关系，学会从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。
第二章 复变函数的积分（6%）
1.掌握复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。
2.理解柯西定理，掌握柯西公式与高阶导数公式，知道解析函数无限次可导的性质。
第三章 幂级数展开（7%）
1.理解复变项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法，知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质。
2.了解泰勒定理，掌握,、、、的迈克劳林展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。
3.了解洛朗定理及孤立奇点的分类，掌握将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数的间接方法。
第四章 留数定理（7%）
1.理解留数的概念，掌握留数的一些求法。
2.理解留数定理，掌握用留数定理求回路积分的方法，会用留数定理求一些实积分。
3.了解约当引理，会用留数定理求解广义积分的柯西主值。
第五章 傅里叶变换（7%）
1.掌握周期函数的实数形式的傅里叶级数展开，及其复数形式的傅里叶级数展开。
2.理解实数形式与复数形式的傅里叶积分与变换，学会求解简单函数的傅里叶积分与变换，了解傅里叶变换的性质。
3.了解函数的定义及其基本性质。
第七章 数学物理定解问题（7%）
1.学会从物理问题中导出三类基本方程：弦振动方程、热传导方程、泊松方程；并了解数学物理方程的简化和分类。
2.理解定解条件（包括初始条件、三类边界条件、自然边界条件和衔接条件）的物理意义，理解定解问题的整体性和适定性。
3.学会达朗贝尔公式，一维问题的行波解。
第八章 分离变量（傅里叶级数）法（30%）
1.学会用分离变量法解齐次方程的定解问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程的狄利克雷问题。
2.学会用傅里叶级数法和冲量定理法处理非齐次方程的定解问题。
3.学会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题。
4.学会用特解法处理泊松方程的定解问题。
第十章 球函数（20%）
1.掌握数学物理方程在球坐标系下的分离变量。
2.了解勒让德方程常点邻域上的级数解法，掌握勒让德多项式的形式、傅立叶-勒让德级数及其性质，学会求解轴对称定解问题。
3.了解连带勒让德方程的解法，连带勒让德多项式的形式、傅立叶-连带勒让德级数及其性质。
4.了解一般球函数的表达式及其性质，学会求解非轴对称定解问题。
第十一章 柱函数（10%）
1.掌握数学物理方程在柱坐标系下的分离变量。
2.了解贝塞尔方程正则奇点邻域上的级数解法，掌握贝塞尔函数的递推公式、零点、模值，按贝塞尔函数系展开函数，了解诺依曼函数和汉代尔函数，学会求解柱坐标系下的定解问题。
3.了解虚宗量贝塞尔方程的解法、虚宗量贝塞尔函数与虚宗量汉代尔函数。

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