上海财经大学2015年考研数学分析考试内容与要求 正文

考试主要内容和考试要求

（一）极限和函数的连续性
1、考试主要内容
映射与函数；数列的极限、函数的极限； 连续函数、函数的连续性和一致连续性；R 中的点集、实数系的连续性；函数和连续函数的各种性质。
2、考试要求
（1）透彻理解和掌握数列极限，函数极限的概念。掌握并能运用ε-N，ε-X，ε-δ语言处理极限问题。熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。
（2）熟练掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。。
（3）熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆盖定理，Cauchy 收敛准则；并理解相互关系。
（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的；并理解两者的相互关系。函数连续性的定义(点，区间)，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念。
（5）熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理；了解 Contor定理。
（二）一元函数微分学
1、考试主要内容
微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
2、考试要求
（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。
（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。理解单侧导数、可导性与连续性的关系，掌握导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。
（3）熟练掌握 Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理以及 Taylor 展式。
（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
（三）一元函数积分学
1、考试主要内容
定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。
2、考试要求
（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
（2）掌握定积分的概念，包括 Darboux 和，上、下积分及可积条件与可积函数类。
（3）掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。
（4）能用定积分表达和计算如下几何量与物理量：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心。
（5）理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法；积分第二中值定理。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；.能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。
（四）无穷级数
1、考试主要内容
数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。
2、考试要求
（1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。
（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy 判别法，D‘Alembert判别法与积分判别法。
（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的 Leibnitz 判别法。掌握绝对收敛级数的性质。
（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的 Weierstrass 判别法。Abel 判别法、Cauchy 判别法、Dirichlet 判别法和 Dini 判别法。熟练掌握函数项级数一致收敛性的性质及其应用。
（5）掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括 Cauchy-Hadamard 定理和 Abel 第一定理。
（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。
（7）掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶（Fourier）级数的概念与性质；能正确地叙述傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数并简单的应用。
（五）多元函数微分学与积分学
1、考试主要内容
多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。
2、考试要求
（1）理解平面及 n R 空间点集的基本概念，多元函数的极限，累次极限，连续性概念；了解闭集套定理，有限覆盖定理。掌握多元函数极限、连续与一致连续概念及其性质，偏导数、方向导数、高阶偏导数和全微分等概念以及和连续关系，会求多元函数的极限、偏导数方向导数、高阶偏导数和全微分。
（2）掌握隐函数存在定理。会求隐函数的导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，
曲面的切平面方程和法线方程
（3）会求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。
（4）了解可求面积、体积概念。熟练掌握重积分（包括广义的）、两类曲线积分和两类曲面积分的概念与计算，会求图形的面积，体积及物体的质量与重心。
（5）熟练掌握 Gauss 公式、Green 公式和 Stoks 公式及其应用。
（6）形式微分。
（六）含参变量积分
1、考试主要内容
含参变量积分的概念、性质。
2、考试要求
（1）熟练掌握含参变量常义积分的概念与性质以及应用。
（2）熟练掌握变上限积分。
（3）Euler 积分。

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