2022年内蒙古师范大学复变函数论硕士研究生复试考研大纲

发布时间：2021-10-08 编辑：考研派小莉推荐访问：

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2022年内蒙古师范大学复变函数论硕士研究生复试考研大纲正文

学科、专业名称：数学
复试科目：复变函数论
考试大纲
考试科目：复变函数
考试形式：闭卷、笔试。
试卷分数及考试时间：试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。考试内容：
1.复数与复变函数
掌握复数的各种表示方法及四则、乘幂、方根和共轭运算。了解区域的概念，单连通域、多连通域的区分。了解曲线、光滑曲线、简单闭曲线的定义，会用复数的方程式或不等式表示一些常见的平面曲线与区域。掌握复变函数的概念、复变函数的极限与连续的定义，理解复变函数与两个实二元函数间的关系，掌握复变函数极限的计算。
2.解析函数
理解复变函数可微与解析的概念.了解解析函数的一些简单性质. 熟练掌握复变函数解析的判别方法，熟悉函数解析的充要条件.会判断函数在一点或区域上的解析性.了解指数函数、三角函数的定义及其主要性质，了解双曲函数的定义，掌握指数函数、三角函数的计算，理解根式函数、对数函数的定义及其主要性质，了解反三角函数与反双曲函数，掌握根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数的计算。
3.复变函数的积分
理解复积分的概念.了解复积分的性质，理解柯西积分定理及两种推广、柯西积分公式及其推论。掌握复变函数积分的计算方法（参数方程法、柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、牛顿-莱布尼兹公式等），理解 Liouville定理及 Morera 定理，掌握解析函数的无穷可微性，掌握刻画解析函数的两个等价定理。理解调和函数与共轭调和函数的概念，掌握由调和函数与共轭调和函数构成的解析函数的求法。
4.解析函数的幂级数表示法
理解复级数收敛、发散及和的概念，理解解析函数项级数的 Weierstrass 定理，了解绝对收敛与条件收敛的概念，掌握复数项级数敛散性的判别方法，理解幂级数收敛圆与收敛半径的概念及 Able 定理，掌握幂级数收敛半径的求法，理解泰勒定理，了解幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况，掌握将一个解析函数展为幂级数的基本方法，记住一些常用初等函数的泰勒展式，掌握具有 m 阶零点的解析函数的表达式，会判断解析函数零点的阶，掌握孤立性及唯一性定理的应用。
5.解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点
理解 Laurent 级数的概念，了解 Laurent 级数与 Taylor 级数的关系，掌握利用已知的幂级数展式去求所需要的 Laurent 展式，理解孤立奇点的三种类型，了解关于本性奇点的 Weierstrass 定理 Picard 大定理，掌握孤立奇点的求法，并能确定它们的类型.掌握孤立奇点∞的类型的判定，了解整函数的分类. 理解亚纯函数的概念，掌握整函数的概念。
6.留数理论及其应用
理解留数的概念及柯西留数定理，了解函数在无穷远点的留数，掌握留数的计算方法，特别是函数在一、二阶极点处留数的求法，掌握利用柯西留数定理计算复积分，理解积分路径上有奇点的积分，掌握用留数定理计算实积分，掌握幅角原理和 Rouche 定理的应用，特别是利用 Rouche 定理证明根的问题。
7.共形映射
理解共形映射的基本性质，掌握共形映射构造及其应用。主要参考书目：
《复变函数论》(第三版).钟玉泉编，高等教育出版社，2004 年 1 月.

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