牡丹江师范学院2021年

    硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

    科目代码、名称:620数学分析

    专业类别：■学术型□专业学位

    适用专业:0701数学

    一、基本知识点

    数学分析是我校数学学科硕士研究生入学初试考试科目。通过考试测试考生对数学分析各项内容理论知识的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力，以保证所录取的考生具有较好数学基础素养。

    第一章实数集与函数

    1.熟练运用实数绝对值的有关性质及几个常见不等式；2.深刻理解确界的定义与确界原理，并能运用有关命题进行运算与证明。

    第二章数列极限

    1.熟练掌握数列极限的概念，掌握发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念；2.掌握极限的性质及四则运算法则，运用迫敛性原理、单调有界定理求数列的极限；3.能够运用柯西收敛准则判定某些数列的敛散性。

    第三章函数极限

    1.深刻理解各类函数极限的定义；2.熟练掌握函数极限的性质，并能用来证明或计算给定的函数极限；3.掌握函数极限的归结原则、柯西收敛准则及单调有界定理，并学会运用上述定理；4.熟练掌握两个重要极限并运用来计算有关函数极限；5.掌握各种类型的无穷小量与无穷大量的定义、性质及阶的比较。

    第四章函数的连续性

    1.熟练掌握函数连续的概念、间断点的类型；熟练掌握连续函数的局部性质、连续函数的有理运算性质，熟知复合函数的连续性及反函数的连续性；2.熟练掌握闭区间上连续函数的重要性质（最值定理，有界性，介值性），能利用这些性质证明；理解函数的一致连续性，能利用这一性质证明。

    第五章导数与微分

    1.熟练掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念及几何意义，理解函数可导与连续的关系；2.能熟练地掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，会求反函数的导数及参数方程求导法求函数的导数；3.熟练掌握函数的高阶导数；4.理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变性。

    第六章微分中值定理及其应用

    1.熟练掌握微分中值定理（费马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理），会用中值定理证明一些恒等式、不等式以及中值命题；2.熟练地应用洛必达法则求不定型的极限；3.深刻理解泰勒定理，掌握泰勒公式，掌握并熟记一些常用初等函数的泰勒展开式，并能够加以运用；4.理解函数单调的充要条件及函数严格单调的充要条件，能应用函数的单调性证明不等式；5.深刻理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地求函数的极值和最大（小）值；6.理解函数的凹凸性，拐点，，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点，能应用函数的凹凸性证明不等式。

    第七章实数的完备性

    掌握确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。

    第八章不定积分

    1.理解并掌握原函数与不定积分的概念；2.熟练掌握换元积分法、分部积分法、掌握有理函数积分法及三角函数有理式的积分。

    第九章定积分

    1.理解定积分概念；2.了解上和与下和及其性质，掌握可积的必要条件及充分条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类）；3.熟练应用定积分的性质；4.理解并掌握微积分学基本定理，熟练应用牛顿—莱布尼兹公式；5.理解变限的积分的性质并能熟练的处理相关问题；6.熟练应用换元积分法和分部积分法计算定积分。

    第十章定积分的应用

    理解并掌握平面图形的面积、已知截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积及曲线弧长的计算方法.

    第十一章反常积分

    理解非正常积分的概念，掌握无穷限与无界函数的非正常积分敛散性的判别法及计算方法。

    第十二章数项级数

    1.掌握无穷级数的收敛、发散、绝对收敛及条件收敛等概念；2.掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）；3.熟练掌握正项级数的敛散性的判别法；4.牢记并熟练掌握等比级数、调和级数、级数的敛散性，并能灵活应用；5.掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解一般项级数的狄利克雷判别法及阿贝尔判别法。

    第十三章函数列与函数项级数

    1.理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念；2.会用一致收敛的定义、柯西收敛准则和最值法判定一致收敛，熟练掌握优级数判别法，理解并掌握狄利克雷判别法、阿贝尔判别法；3.理解并掌握一致收敛的函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性和一致收敛的函数项级数的和函数的连续性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分），并能应用它们解决一些相关问题。

    第十四章幂级数

    1.理解幂级数的有关概念，掌握收敛性的有关问题；2.掌握幂级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性、可积性与可微性；3.熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法；4.理解并掌握函数的幂级数展开式，并能用幂级数做某些近似计算。

    第十五章傅里叶级数

    1.掌握三角函数系的正交性，理解以2位周期的函数的傅里叶级数的有关概念、定义及收敛定理；2.明确以2为周期的函数的傅里叶级数是以2位周期的函数的傅里叶级数的推广，并理解偶函数与奇函数的傅里叶级数；3.能将一些函数展成傅里叶级数。

    第十六章多元函数的极限与连续

    1.掌握平面点集的有关概念，二元函数的极限、累次极限以及连续性等概念；弄清重极限与累次极限的关系；会证明二元函数极限的不存在；2.掌握多元连续函数的性质。

    第十七章多元函数微分学

    1.理解多元函数偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念，特别应掌握全微分、偏导数、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.熟练掌握求函数的偏导数、全微分及方向导数的方法；3.会求空间曲线的切线方程、法平面方程，空间曲面的切平面方程、法线方程；4.掌握多元函数的泰勒公式；5.理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件及充分条件，会求多元函数的极值和某些函数的最大（小）值，并能解决一些简单的应用问题。

    第十八章隐函数定理及其应用

    1.理解隐函数的有关概念及隐函数存在性可微性的条件，进而会求隐函数的导数和偏导；2.了解隐函数组的有关概念及隐函数组存在可微性的条件，了解反函数及反函数组存在的条件；3.掌握隐函数组的微分法和隐函数几何方面的应用；4.理解条件极值的概念及拉格朗日乘数法，会求多元函数的条件极值，并能把实际中的某些极值问题抽象为数学上的条件极值问题。

    第十九章含参量积分

    1.理解和掌握含参量正常积分、含参量反常积分的基本概念；2.掌握两种含参量反常积分的基本性质；3.深刻理解含参量反常积分的一致收敛的概念，掌握其判别的方法；4.掌握含参量积分的分析性质，并能应用其计算积分。

    第二十章曲线积分

    1.理解并掌握第一型曲线积分、第二型曲线积分的基本概念和性质，并掌握其计算方法；2.了解并掌握两类曲线积分之间的联系。

    第二十一章重积分

    1.理解二重积分与三重积分的有关概念；2.理解二重积分与三重积分的性质；3.熟练掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，能将三重积分化为累次积分，并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分；4.掌握格林公式；5.会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量。

    第二十二章曲面积分

    1.掌握第一型曲面积分、第二型曲面积分的基本概念、性质和计算方法，同时明确两者之间的联系；2.熟练掌握高斯公式和斯托克斯公式。

    二、考试要求（包括考试时间、总分、考试方式、题型、分数比例等）

    考试时间：180分钟，总分：150分，考试方式：笔试，闭卷

    题型：一、填空题；二、计算题；三、证明题

    分数比例：填空题（共40分）；计算题（共50分）；证明题（共60分）

    一、主要参考书目

    《数学分析》第四版（上、下册）华东师范大学数学系编高等教育出版社，2010.

    《数学分析》第二版(上、下册)，陈传璋等，高等教育出版社,1983.

    四、学院审核意见

    主管领导签字：单位公章：

    注：“总分”按照各自命题科目分值具体情况添写。

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