2021湖南师范大学实变函数研究生考试大纲 正文

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
考试科目代码：[]               考试科目名称：实变函数
 
一、考试内容及要点
（一）测度论与可测函数部分
1、n维欧式空间中的点集
考试内容：开集、闭集的构造、分离定理
考试要点：
l 要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。
l 要求考生理解Cantor集。
l 要求考生熟练掌握分离定理。
2、测度论
考试内容：Lebesgue 外测度，可测集、可测集类
考试要点：
l 测度的定义和性质； 
l 掌握Lebesgue 外测度和测度的定义和基本性质； 
l 练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。 
l 掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性； 
l 了解特殊的两类集合，波雷耳集。
3、可测函数
考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛
考试要点：
l 熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念；  
l 理解叶果洛夫定理；  
l 理解并掌握鲁津定理及其逆定理；
l 熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和Lebesgue收敛定理
（二）Lebesgue积分与不定积分部分
 1、Lebesgue积分的概念与性质
考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理
考试要点：
l 理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算， 勒贝格积分与Riemann积分的关系； 
l 熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性； 
l 熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质。
l 牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。
2、微分和不定积分
考试内容：有界变差函数、绝对连续函数
考试要点：
l 熟练掌握有界变差的定义，理解Lebesgue定理；
l 充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。
二、参考书目
 
[1] 江泽坚等编《实变函数论》（第3版），高等教育出版社，2007年第3版 .
 
[2] 程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003年第2版 .
 
 
 

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