2021大连海事大学实变函数专业研究生考试大纲 正文

考试科目：实变函数
试卷满分及考试时间：试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

考试内容 
一、 集合论基础
1.  集合及其运算；
2. 集合的基数；
3. 可数集与不可数集。

二、 Rn中的拓扑
1. 开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包 ；
2. 开集的构造定理；
3. 康托（Cantor）三分集，完备集，疏朗集，稠密集，紧致集。
 
三、 测度理论 
1. 外测度的概念和基本性质；
2. Lebesgue可测集的概念与Caratheodory条件；
3. Lebesgue可测集全体的各种整体性质（如可列可加性等）；
4. 不可测集的构造；
5. Lebesgue可测集的等价概念；
6. 代数，代数，Borel集。
 
四、 可测函数 
1.  可测函数及其性质；
2. 测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛；
3. 用连续函数逼近可测函数，鲁金（Lusin）定理。

五、 Lebesgue积分 
1. Lebesgue积分的定义与性质；
2. 可测函数列积分收敛定理，Lebesgue积分的绝对连续性；
3. Lebesgue积分与Riemman积分的关系；
4. 重积分、累次积分、Fubini定理；
5. 有界变差函数，绝对连续函数，Lebesgue-Stieltjes积分。

基本要求
一、 集合论基础
1. 熟练掌握 集合各种运算（包括集合列的上、下极限集）；
2. 理解集合基数、可数集与不可数集等概念，熟练掌握集合基数的比较和计算方法；
3. 理解Bernstein定理及Cantor对角线法。

二、 Rn中的拓扑
1. 掌握度量概念，和由此引出的内点，聚点，导集，闭包，开集与闭集等概念及其性质；
2. 理解1维与2维以上欧式空间开集的构造定理，并能在后面的测度理论中意识到它们的区别；
3. 掌握完备集，疏朗集，稠密集，紧致集等基本概念，并能对康托（Cantor）三分集、广义康托（Cantor）集做相应探讨。

三、 测度理论 
1. 理解外测度、测度的概念及其区别，能够运用Caratheodory条件推导Lebesgue可测集各种性质；
2. 掌握不可测集的构造方法与破坏可列可加性的反例；
3. 掌握开集、闭集、G集、F集与可测集的关系，熟练运用等测包、等测核概念证明集合的可测性；
4. 理解代数、代数、Borel集的概念，掌握Borel集与Lebesgue可测集的关系。

四、 可测函数 
1. 理解可测函数与简单函数之间的关系，并能用可测函数基本概念、简单函数列逼近两种方法证明各种性质；
2. 掌握可测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛的关系及证明方法（包括叶果洛夫（Egoroff）定理，黎斯（Riesz）定理），理解依测度收敛的重要性；
3. 掌握连续函数与可测函数的关系，能够运用鲁金（Lusin）定理解决相关问题。

五、 Lebesgue积分 
1. 掌握Lebesgue积分的定义与性质；
2. 能够运用Levi引理、Fadou引理、Lebesgue控制收敛定理解决可测函数列积分收敛问题，理解Lebesgue积分的绝对连续性；
3. 理解Lebesgue积分与Riemman积分的关系，并能据此进行各种积分运算；
4. 理解重积分、累次积分、Fubini定理，并能进行简单的运算；
5. 理解Vitali覆盖、单调函数的Lebesgue定理、有界变差函数、绝对连续函数、Lebesgue-Stieltjes积分。

参考书目 
《实变函数论》（第二版），周民强，北京大学出版社，2008年

大连海事大学

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