2021大连海事大学高等代数专业研究生考试大纲 正文

考试科目：高等代数
试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

考试内容 
一、 多项式
1. 多项式的带余除法、整除性，最大公因式、互素多项式。
2. 不可约多项式，因式分解唯一性定理，重因式，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式不可约的判定。
3. 多项式函数与多项式的根，有理系数多项式有理根的求法，根与系数关系。

二、 行列式
1．n阶行列式的概念和基本性质，行列式的子式、余子式以及代数余子式。 
2．行列式按行(列)展开定理，范德蒙德行列式，克拉姆法则，拉普拉斯定理，行列式乘积规则。
3. 行列式的计算。 

三、 线性方程组 
1. 向量空间。
2．向量组的线性相关与线性无关。
3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。
4．等价向量组的概念和性质。
5．矩阵的秩。 
6．求解线性方程组的消元法。 
7．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充要条件。
8．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。
9．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。
 
四、 矩阵 
1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。
2．矩阵的初等变换，矩阵的等价，矩阵的标准形。
3．初等矩阵的概念和性质。
4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。 
5．分块初等矩阵及应用。
五、 二次型 
1．二次型的矩阵表示及秩。 
2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。
3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。
4．用正交变换化二次型为标准型。
5．一般数域（复数域、实数域）上二次型的标准形和规范形，惯性定理。
6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。

六、 线性空间 
1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。
2．线性子空间及其交与和的基与维数。 
3．线性空间的基变换与坐标变换、过渡矩阵。
4．线性子空间的直和。 
5．线性空间的同构。

七、 线性变换 
1．线性变换的概念、矩阵表示、秩、运算及在给定基下的矩阵。 
2．线性变换（矩阵）的特征值与特征向量的概念、性质。 
3．相似变换、相似矩阵的概念及性质。 
4．线性变换（矩阵）可相似对角化的充要条件。
5．正交矩阵、实对称阵及其性质。
6．值域与核的基与维数。 
7．不变子空间。
8．哈密尔顿-凯莱定理，若当标准形，最小多项式。
 
八、 -矩阵
1. -矩阵的初等变换，-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子以及三种因子之间的关系。
2. -矩阵的等价与数字矩阵的相似。
3. 若当标准型的理论推导。

九、 欧氏空间 
1．向量的内积、范数(长度)、夹角。 
2．施密特正交化过程，标准正交基。
3．正交子空间和正交补。
4．正交变换和对称变换的概念和性质。
5. 实对称阵正交相似于对角阵的计算。
 
参考书目 
1．课程教材：《高等代数》（第五版），北京大学数学系前代数小组编（王萼芳、石生明修订），高等教育出版社，2019年。
2．参考资料：徐仲等编，《高等代数导教、导学、导考(第四版)》，西北工业大学出版社，2014年。　
3．参考资料：孙怡东主编，《高等代数辅导》，大连海事大学出版社，2019年。

大连海事大学

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